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Math 代数

• 标量(scalar): 一个标量表示一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象
  （通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。如：a
• 向量(vector): 一个向量表示一组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以确定每个
  单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称。当我们需要明确表示向量中的元素
  时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵柱：如 a.
• 矩阵(matrix): 矩阵是一个二维数组，其中每一个元素由两个索引所确定。一个有m行，n列
  ，每个元素都属于 RR 的矩阵记作 A∈Rm×n. 通常使用大写变量名称，如A
• 张量(tensor): 超过两维的数组叫做张量。在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组
  ，一般的，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们称之为张量。我们
  使用字体 A 来表示张量“A”。张量A中坐标为(i,j,k) 的元素记作 Ai,j,k .

四者之间关系:

• 标量是0阶张量
• 向量是1阶张量
• 矩阵是2阶张量

矩阵运算

同型(同阶)矩阵

加(减)法: aij - bij = cij 乘法: a00 * b00 + a01 * b10 + a02 * b20 = c00 除法: Z / A = Z * B, AB = BA = E

矩阵乘法

a11 a12 a13   b11 b12 b13   a11*b11 + a12*b21 + a13*b31, a11*b12 + a12*b22 + a13*b32, a11*b13 + a12*b23 + a13*b33
a21 a22 a23 * b21 b22 b23 = a21*b11 + a22*b21 + a23*b31, a21*b12 + a22*b22 + a23*b32, a21*b13 + a22*b23 + a23*b33 
a31 a32 a33   b31 b32 b33   a31*b11 + a32*b21 + a33*b31, a31*b12 + a32*b22 + a33*b32, a31*b13 + a32*b23 + a33*b33

矩阵的秩

秩是列空间的维度, 即秩是图经过矩阵变换后的空间维度 矩阵可以拉伸, 可以旋转

求矩阵的秩, 使用高斯消元法, 即使用初等变换把矩阵转换成行阶梯形矩阵, 梯形台阶 就是秩

矩阵的行列式

a = a , b = a * d - b * c c , d

a = a , b , c = a * (e * i - f * h) - b * (d * i - f * g) + c * (d * h - e * g) d , e , f g , h , i

矩阵的转置

a = a , b = a , c c , d b , d

矩阵初等变换

初等变换并不改变矩阵的秩

1. 两行(列)互换
2. 把某行(列)乘以一非零常数
3. 把第i行(列)加(减)上第j行(列)的中倍数

先转换成行阶梯形矩阵, 台阶既为秩

矩阵分类

1. 实对称矩阵: A = AT
2. 单位矩阵(E)
3. 逆矩阵: AB = BA = E
4. 正定矩阵

线性变换

线性相关

特征值和特征向量

向量v在矩阵A的作用下, 保持方向不变, 进行比例λ的伸缩, 即Av=λv, 则v为特征向量, λ为特征值. 从定义式还可以看出, 特征向量所在直线上的向量都是特征向量, 特征向量 所在的直线包含了所有的特征向量, 称其为特征空间.

线性子空间

假设K是域(比如实数域), V是K上的向量空间, 如果W是V的子集, 并且W自身是带有和V一样 的向量运算的向量空间, 则称W是V的子空间.

范数函数

衡量失量的大小

Reference

• 标量、向量、矩阵、张量之间的联系

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